Profesor Ligdami: Variable separables- Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones en variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.

Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos.

Observación: una ecuación de la forma:

$\begin{displaymath} f_1(x)g_1(y) dx - f_2(x) g_2(y) dy = 0 \end{displaymath}$

puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor

$\begin{displaymath} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} dx - \frac{g_2(y)}{g_1(y)} dy = 0 \end{displaymath}$

y al integrar obtenemos la solución

$\begin{displaymath} \int \frac{f_1(x)}{f_2(x)} dx = \int \frac{g_2(y)}{g_1(y)} dy \end{displaymath}$

Tenga presente que al dividir por el factor puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.

Ejemplo 1

La ecuación diferencial ordinaria

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} = \frac{4y^2 - x^4}{4xy} \end{displaymath}$

no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable .

Al tratar de separar variables llegamos a la ecuación

$\begin{displaymath} 4y dy = \frac{4y^2 - x^4}{x} dx \end{displaymath}$

la cual no es separable.

Por otro lado, al hacer el cambio de variable

$\begin{displaymath} y = ux \Rightarrow y^{\prime} = x u^{\prime} + u \end{displaymath}$

con lo que al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos

$\begin{displaymath} x u^{\prime} + u = \frac{4u^2- x^2}{4u} \end{displaymath}$

y simplificando

$\begin{displaymath} \frac{du}{dx} = - \frac{x}{4u} \end{displaymath}$

la cual es separable. Al integrar llegamos a la solución

$\begin{displaymath} 2u^2 + \frac{x^2}{2} = c \end{displaymath}$

Volviendo a la variable original

$\begin{displaymath} 2 \left( \frac{y}{x} \right)^2 + \frac{x^2}{2} = c \end{displaymath}$

la cual es la solución buscada.

Ejemplo 2

Consideremos la ecuación $y-y'=0$ , lo primero que debemos hacer es reescribir $y'$ como un cociente de diferenciales $\frac{dy}{dx}$ , de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

$y - \frac{dy}{dx} = 0$

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de $x$ y de $y$ como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

$\frac{dy}{dx} = y$

$\Rightarrow \; dy = y \ dx$

$\Rightarrow \; \frac{dy}{y} = dx$

Notamos que todas las expresiones que involucran a $y$ están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a $x$ están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

$\int \frac{dy}{y} = \int dx$

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante $C$ del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable $y$ para obtener la función que estamos buscando.

$\ln(y) = x + C$

$\Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{x + C}$

$\Rightarrow \; y = \textit{\Large e}^x\textit{\Large e}^C$

$\Rightarrow \; y = C \textit{\Large e}^x$

En este último paso, al ser $\textit{\Large e}^C$ una constante real, la reescribimos como $C$ para facilitar su escritura.

Variable separables- Ecuaciones diferenciales

Ejemplo 2

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