Término general de una sucesión

 

Sucesiones Aritméticas

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  Objetivos:

1. Presentadas varias sucesiones cada estudiante identificará, sin equivocarse aquellas que son sucesiones aritméticas.
2. Dada la fórmula del n-ésimo término de la sucesión aritmética, cada estudiante determinará, sin error, cualquier término de la misma.
3. Dada una sucesión aritmética, cada estudiante determinará correctamente la fórmula para el n-ésimo término de la misma.

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Introducción

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi.

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Definición

Podemos definir una sucesión aritmética de la siguiente manera.

Definición: (Sucesión Aritmética) Es una secuencia de números, en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante d, excepto el primer término que es dado. El valor de la constante d puede ser positivo o negativo.

Ejemplos:
La sucesión: $s = 2, 5, 8,$ 11, 14, 17, ··· Es un ejemplo claro de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre dos términos consecutivos nos da una constante d de valor 3.

La sucesión: $s = \mathrm{-6}, \mathrm{-2}, 2,$ 6, 10, 14, ··· Es un ejemplo claro de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre dos términos consecutivos nos da una constante d de valor 4.

La sucesión: $s = \mathrm{-1}, 5, \mathrm{11},$ 16, 22, 28, ··· No es un ejemplo de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre el tercer y cuarto término nos da una constante d = 5 diferente al valor de la otra constante con los otros téerminos que es d = 6.

Cuando hablamos de sucesiones aritméticas es importante definir la notación utilizada.

Notación: (Sucesión Aritmética) Comunmente se denominan los términos de una sucesión de la siguiente manera: a(1) = primer término de la sucesión    a(2) = segundo término de la sucesión $⋮$ a(n) = n-ésimo término de la sucesión     d = Constante o diferencia común El n-ésimo término de una sucesión aritmética es la regla que determina como se calculan los términos de la misma.

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Encontrando el N-ésimo Término

Cuando se habla del N-ésimo Término de una sucesión aritmética nos referimos a la regla o fórmula que rige el patrón que siguen todos los términos de la misma. Para encontrar esta fórmula debemos seguir los siguientes pasos:

Encontrando el N-ésimo Término 1. Determinar el valor de a(1). Es el primer término de la sucesión. 2. Realizar la diferencia d entre dos términos consecutivos en la sucesión, esa diferencia d debe ser igual para cualquier par de términos escogidos. 3. Comprobar el resultado dado, haciendo la respectiva sucesión paso a paso. Si no tenemos una sucesión, entonces utilizamos la fórmula cuando tenemos un término y la constante o distancia entre dos términos.

La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es:

$a$ n = a 1 + n - 1 · d

donde a(n) es el término deseado, a(1) es el primer término y d es la constante o diferencia común


Utilicemos los siguientes ejemplos para tener una idea más concreta de como encontrar el N-ésimo Término de una sucesión.

1. Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: $8$ , 11 , 14 , 17 , 20 , 23 , 26 , ...
   Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.

   Encontrando el N-ésimo Término 1. Para determinar a(1), podemos usar la formula para n=1$a$ n = a 1 + n - 1 · d ⟶ a 1 = 8 + 1 - 1 · d ⟶ a 1 = 8podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión. $a$ n = 8 + n - 1 · d 2. Encontrar el valor de d:$d$ = a 2 - a 1 ⟶ d = 11 - 8 ⟶ d = 3$d$ = a 4 - a 3 ⟶ d = 17 - 14 ⟶ d = 3$d$ = a 7 - a 6 ⟶ d = 26 - 23 ⟶ d = 3 Por lo tanto, el término general de la sucesión es: $a$ n = 8 + n - 1 · 33. Verifica: para n = 1  ⟶  8 + (n - 1)·3  ⟶  8 + (1 - 1)·3 ⟶    8 + (0)·3 ⟶ 8 para n = 2  ⟶  8 + (n - 1)·3  ⟶  8 + (2 - 1)·3 ⟶    8 + (1)·3 ⟶ 11 para n = 3  ⟶  8 + (n - 1)·3  ⟶  8 + (3 - 1)·3 ⟶    8 + (2)·3 ⟶ 14 para n = 4  ⟶  8 + (n - 1)·3  ⟶  8 + (4 - 1)·3 ⟶    8 + (3)·3 ⟶ 17 para n = 5  ⟶  8 + (n - 1)·3  ⟶  8 + (5 - 1)·3 ⟶    8 + (4)·3 ⟶ 20

   Asi encontramos el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por: a(n) = 8 + (n - 1)·3.


2. Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: $-13$ , -19 , -25 , -31 , -37 , -43 ,...
   Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.

   Encontrando el N-ésimo Término 1. Para determinar a(1), podemos usar la formula para n=1$a$ n = a 1 + n - 1 · d ⟶ a 1 = -13 + 1 - 1 · d ⟶ a 1 = -13podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión. $a$ n = -13 + n - 1 · d 2. Encontrar el valor de d:$d$ = a 2 - a 1 ⟶ d = (-19) - (-13) ⟶ d = -6$d$ = a 4 - a 3 ⟶ d = (-31) - (-25) ⟶ d = -6$d$ = a 6 - a 5 ⟶ d = (-43) - (-37) ⟶ d = -6 Por lo tanto, el término general de la sucesión es: $a$ n = -13 + n - 1 · (-6)3. Verifica: para n = 1  ⟶  -13 + (n - 1)·(-6)  ⟶  -13 + (1 - 1)·(-6) ⟶    -13 + (0)·(-6) ⟶ -13 para n = 2  ⟶  -13 + (n - 1)·(-6)  ⟶  -13 + (2 - 1)·(-6) ⟶    -13 + (1)·(-6) ⟶ -19 para n = 3  ⟶  -13 + (n - 1)·(-6)  ⟶  -13 + (3 - 1)·(-6) ⟶    -13 + (2)·(-6) ⟶ -25 para n = 4  ⟶  -13 + (n - 1)·(-6)  ⟶  -13 + (4 - 1)·(-6) ⟶    -13 + (3)·(-6) ⟶ -31 para n = 5  ⟶  -13 + (n - 1)·(-6)  ⟶  -13 + (5 - 1)·(-6) ⟶    -13 + (4)·(-6) ⟶ -37

   Asi encontramos el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:-13 + (n - 1)·(-6).


3. Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: $-7$ , -1 , 5 , 11 , 17 , 23 ,...
   Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.

   Encontrando el N-ésimo Término 1. Para determinar a(1), podemos usar la formula para n=1$a$ n = a 1 + n - 1 · d ⟶ a 1 = -7 + 1 - 1 · d ⟶ a 1 = -7podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión. $a$ n = -7 + n - 1 · d 2. Encontrar el valor de d:$d$ = a 2 - a 1 ⟶ d = (-1) - (-7) ⟶ d = 6$d$ = a 4 - a 3 ⟶ d = (11) - (5) ⟶ d = 6$d$ = a 6 - a 5 ⟶ d = (23) - (17) ⟶ d = 6 Por lo tanto, el término general de la sucesión es: $a$ n = -7 + n - 1 · (6)3. Verifica: para n = 1  ⟶  -7 + (n - 1)·(6)  ⟶  -7 + (1 - 1)·(6) ⟶    -7 + (0)·(6) ⟶ -7 para n = 2  ⟶  -7 + (n - 1)·(6)  ⟶  -7 + (2 - 1)·(6) ⟶    -7 + (1)·(6) ⟶ -1 para n = 3  ⟶  -7 + (n - 1)·(6)  ⟶  -7 + (3 - 1)·(6) ⟶    -7 + (2)·(6) ⟶ 5 para n = 4  ⟶  -7 + (n - 1)·(6)  ⟶  -7 + (4 - 1)·(6) ⟶    -7 + (3)·(6) ⟶ 11 para n = 5  ⟶  -7 + (n - 1)·(6)  ⟶  -7 + (5 - 1)·(6) ⟶    -7 + (4)·(6) ⟶ 17

   Asi encontramos el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:-7 + (n - 1)·(6).
   
   La siguiente aplicación interactiva te provee una guia para encontrar el n-ésimo término de sucesiones aritméticas, presiona el siguiente botón para iniciar la misma.
   
   
   

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Encontrando Términos de una Sucesión Aritmética

Es muy común que se nos pida encontrar un término en particular de una sucesión aritmética. Si se nos provee el N-ésimo Término de la sucesión y se nos pide encontrar un término en particular debemos seguir el proceso de sustitución. Aprendimos a sustitur en la lección (hay que incluirla). Los siguientes ejemplos pueden ayudarte a refrescar la idea.

1. Suponga que el N-ésimo Término de una sucesión aritmética viene dado por:
$a$ n = 2 n - 3Encuentre el primer, segundo y quinto término.
1. Para encontrar el primer término sustituimos en la fórmula dada con n=1 y obtenemos lo siguiente:
$a$ n = 2 n - 3 ⟶ a 1 = 2 · 1 - 3 = -1
2. Para encontrar el segundo término sustituimos en la fórmula dada con n=2 y obtenemos lo siguiente:
$a$ n = 2 n - 3 ⟶ a 2 = 2 · 2 - 3 = 1
3. Para encontrar el quinto término sustituimos en la fórmula dada con n=5 y obtenemos lo siguiente:
$a$ n = 2 n - 3 ⟶ a 5 = 2 · 5 - 3 = 7

La siguiente aplicación interactiva nos permite ver los primeros siete términos de algúnas sucesiones aritméticas, presiona el siguiente botón para iniciar la misma.