Tecnicas de conteo

 

Técnicas de conteo: técnicas, aplicaciones, ejemplos, ejercicios

Principio de la multiplicación

Si un evento A se puede realizar de «m» formas diferentes y luego se puede realizar otro evento B de «n» formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir A y B es igual a m x n. Es decir, ambos eventos se realizan, primero uno y luego el otro. El «y» indica multiplicación.

Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y 3 camisas?

Para vestirse, la persona se pone el pantalón y luego la camisa, es decir tiene 3 x 3 = 9 opciones diferentes de vestirse.

Principio de la adición

Si un evento «A» se puede realizar de «m» maneras diferentes, y otro evento «B» se puede realizar de «n» maneras diferentes, además, si ocurre uno no puede ocurrir el otro, entonces, el evento A o el evento B, se realizarán de m+n formas. Es decir, aquí ocurre A o ocurre B. El «o» indica suma.

Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede cruzar un río, sabiendo que se dispone de 3 botes y 4 barcos?

El río se puede cruzar en bote o en barco, es decir, tiene 3 + 4 = 7 opciones diferentes para cruzar el río. El río se cruza en bote o en barco.

Concepto

Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.

En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo?

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:

-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?

-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.

-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de  todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos

Principio multiplicativo

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

                                    N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:

1)      Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2

N2= maneras de construir paredes = 3

N3= maneras de hacer techos = 2

N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

2)      ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

Solución:

a.      Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar

b.      26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil

c.      1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil

d.      1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

3)      ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.

Solución:

a.      9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos

b.      9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos

c.      1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos

d.      8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

1)      ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución:

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc

2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)  b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera

b. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

3)      ¿Cuántos puntos de tres coordenadas  ( x, y, z ), será posible generar con  los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si,  a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

Solución:

  6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles

b. Por el principio multiplicativo

6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

4)      a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?

Solución:

 a. 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego

b. Por principio multiplicativo:

1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

      

     c. Por principio multiplicativo

1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego

     

5)      Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso

      

b.       1 x  25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6

c.      1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.

Principio aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

Primer Ejemplo

Si una librería vende libros de literatura, biología, medicina, arquitectura y química, de los cuales posee 15 tipos diferentes de libros de literatura, 25 de biología, 12 de medicina, 8 de arquitectura y 10 de química, ¿cuántas opciones tiene una persona para escoger un libro de arquitectura o un libro de biología?

El principio aditivo nos dice que la cantidad de opciones o maneras de hacer esta elección es 8+25=33.

Este principio también se puede aplicar en el caso de que sea un único evento el involucrado, que a su vez tenga diferentes alternativas para ser realizado.

Supongamos que se quiere realizar cierta actividad o evento A, y que existen varias alternativas para ello, digamos n.

A su vez, la primera alternativa tiene a1 maneras de ser realizada, la segunda alternativa tiene a2 maneras de ser realizada, y así sucesivamente, la alternativa número n se puede realizar de an maneras.

El principio aditivo establece que el evento A se puede realizar de a1+ a2+…+ an maneras.

Segundo ejemplo

Supongamos que una persona quiere comprar un par de zapatos. Cuando llega a la zapatería encuentra solamente dos modelos diferentes de su talla de calzado.

De uno hay dos colores disponibles, y del otro cinco colores disponibles. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de realizar esta compra? Por el principio aditivo la respuesta es 2+5=7.

El principio aditivo se debe usar cuando se quiera calcular la manera de realizar un evento u otro, no ambos simultáneamente.

Para calcular las diferentes formas de realizar un evento junto (“y”) con otro —es decir, que ambos eventos deban ocurrir de manera simultánea— se usa el principio multiplicativo.

El principio aditivo también puede interpretarse en términos de probabilidad de la siguiente manera: la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B, lo cual se denota por P(A∪B), sabiendo que no puede ocurrir A simultáneamente a B, viene dada por P(A∪B)= P(A)+ P(B).

Tercer ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado o cara al lanzar una moneda?

Según lo visto anteriormente, en general la probabilidad de obtener un número cualquiera al lanzar un dado es 1/6.

En particular, la probabilidad de obtener un 5 también es 1/6. Análogamente, la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 1/2. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta anterior es P(A∪B)=1/6+1/2=2/3.

Cuarto  Ejemplo

Imaginemos esta vez a una persona que quiere comprar una raqueta de tenis. Para ello, tiene tres marcas a elegir: Wilson, Babolat o Head.

Cuando va a la tienda ve que la raqueta Wilson puede comprarse con el mango de dos tamaños distintos, L2 o L3 en cuatro modelos distintos y puede ser encordada o sin encordar.

La raqueta Babolat, en cambio, tiene tres mangos (L1, L2 y L3), hay dos modelos diferentes y puede también ser encordada o sin encordar.

La raqueta Head, por su parte, solo está con un mango, el L2, en dos modelos diferentes y solo sin encordar. La pregunta es: ¿Cuántas formas tiene esta persona de comprar su raqueta?

M = Número de formas de seleccionar una raqueta Wilson

N = Número de formas de seleccionar una raqueta Babolat

W = Número de formas de seleccionar una raqueta Head

Realizamos el principio multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 formas

W = 1 x 2 x 1 = 2 formas

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 formas de elegir una raqueta.

EJERCICIOS 

1. ¿De cuántas formas se puede cruzar un río una vez, si se cuenta con 1 bote y 2 barcos? Rpta: 3.

2. ¿De cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 2 pantalones y 3 camisas? Rpta: 6.

3. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza un Rpta: 36.

4. ¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones de masa (tradicional y especial), y 4 sabores (hawaiana, carne, vegetariana y americana)? Solo se puede pedir una masa y un sabor. Rpta: 8.

5. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza una moneda o un dado? Rpta: 8.

6. a) ¿Cuántos resultados distintos se puede obtener si se lanza una moneda 3 veces? b)¿Y si se lanza 5 veces? Rptas: a) 8.    b) 32.

7. Un repuesto de automóvil se vende en 3 tiendas de Santiago y en 8 tiendas de Lima. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? Rpta: 11.

8. ¿De cuántas formas distintas puede cenar una persona si hay: 5 aperitivos, 3 entradas, 4 platos de fondo, 3 bebidas y 2 postres? Tener en cuenta que solo se puede elegir una opción de cada cosa. Rpta: 360

9. Una sala de lectura tiene 5 puertas: a) ¿de cuántas maneras puede entrar a la sala un estudiante y salir por una puerta diferente? b) ¿y si sale por cualquier puerta? Rptas: a) 20. b)25.

10. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B? Rpta: 35.