Sistema de ecuaciones con dos variables

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Método de reducciónEditar

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

tenemos como ejemplo el sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrcr}x&+y&=&5\\-x&+2y&=&4\end{array}}\right.}$

En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcr}x&+y&=&5\\-x&+2y&=&4\\\hline &3y&=&9\end{array}}}$

como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:

${\displaystyle 3\,y=9}$

despejando la y, tenemos:

${\displaystyle y={\frac {9}{3}}}$

que haciendo la operación da:

${\displaystyle y=3\,}$

Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:

${\displaystyle x+3=5\;}$

despejando x, tenemos:

${\displaystyle x=5-3\,}$

que realizando la operación da como resultado:

${\displaystyle x=2\,}$

el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:

${\displaystyle x=2\,}$

${\displaystyle y=3\,}$

En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero esta vez eliminando la y:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrcr}x&+y&=&5\\-x&+2y&=&4\end{array}}\right.}$

vemos el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1 y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la cambiamos de signo, tendremos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrcr}2x&+2y&=&10\\x&-2y&=&-4\end{array}}\right.}$

con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcr}2x&+2y&=&10\\x&-2y&=&-4\\\hline 3x&&=&6\end{array}}}$

así tenemos una ecuación con una incógnita:

${\displaystyle 3\,x=6}$

despejando la x:

${\displaystyle x={\frac {6}{3}}}$

el valor de x que obtenemos es:

${\displaystyle x=2\,}$

para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}2&+&y&=&5\\\end{array}}}$

que despejando la y tendremos:

${\displaystyle y=5-2\,}$

con lo que tenemos:

${\displaystyle y=3\,}$

Como puede verse en el ejemplo resuelto, el método de reducción consiste en operar el sistema de modo que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero cambiado de signo; al sumar las dos ecuaciones el sistema se reduce a una ecuación con una incógnita que despejamos. Con este valor sustituido en una de las ecuaciones iniciales calculamos la segunda incógnita. Es indistinto que se haga con la x o con la y, en los dos casos obtendremos el mismo resultado.

Método de igualaciónEditar

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se resuelve por igualación:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.}$

despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&=&5-y\\x&=&2y-4\end{array}}\right.}$

el valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:

${\displaystyle 5-y=2\,y-4}$

Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y los términos independientes al otro:

${\displaystyle -2\,y-y=-5-4}$

${\displaystyle 2\,y+y=5+4}$

Operando tenemos:

${\displaystyle 3\,y=9}$

${\displaystyle y={\frac {9}{3}}}$

${\displaystyle y=3\,}$

Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejada la x, tenemos que si:

${\displaystyle x=5-y\,}$

${\displaystyle y=3\,}$

Resulta que x vale:

${\displaystyle x=5-3\,}$

${\displaystyle x=2\,}$

la solución del sistema es:

${\displaystyle x=2\,}$

${\displaystyle y=3\,}$

Como puede verse, el método de resolución del sistema de ecuaciones no afecta al resultado, porque todos ellos nos llevan a la solución. Veamos qué pasaría si en este mismo sistema, en vez de despejar la x para después igualar, hubiéramos despejado la y:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rcr}y&=&5-x\\y&=&{\cfrac {4+x}{2}}\end{array}}\right.}$

la y vale lo mismo en una ecuación que en la otra, por lo que podemos igualar:

${\displaystyle 5-x={\cfrac {4+x}{2}}}$

operando:

${\displaystyle 2(5-x)=4+x\,}$

${\displaystyle 10-2\,x=4+x\,}$

${\displaystyle -2\,x-x=4-10\,}$

${\displaystyle -3\,x=-6\,}$

${\displaystyle 3\,x=6\,}$

${\displaystyle x={\frac {6}{3}}\,}$

${\displaystyle x=2\,}$

con lo que ya tenemos el valor de x, sustituyendo este valor en la primera ecuación despejada la y tenemos:

${\displaystyle y=5-x\,}$

${\displaystyle x=2\,}$

luego y valdrá:

${\displaystyle y=5-2\,}$

${\displaystyle y=3\,}$

Si en lugar de en la primera ecuación lo hiciésemos en la segunda el resultado sería el mismo:

${\displaystyle y={\frac {4+x}{2}}}$

${\displaystyle x=2\,}$

que resultaría:

${\displaystyle y={\frac {4+2}{2}}}$

${\displaystyle y={\frac {6}{2}}}$

${\displaystyle y=3\,}$

Como puede verse, podemos resolver el sistema independientemente de qué incógnita despejemos primero o en qué ecuación sustituyamos después su valor, por lo que podemos hacerlo del modo que nos resulte más cómodo, según los coeficientes que tengan las incógnitas.

Método de sustituciónEditar

El nuevo método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una y dos incógnitas. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.

Empleando el mismo ejemplo de sistema veamos cómo se resolvería por el método de sustitución:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.}$

podemos despejar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. Probemos primero despejando la x de la primera ecuación:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.{\begin{array}{cc}\rightarrow &x=5-y\,\\\,\end{array}}}$

si ahora sustituimos el valor de x despejado de la primera ecuación en la segunda, tenemos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.{\begin{array}{cc}\rightarrow &x=5-y\,\\\longrightarrow \end{array}}{\begin{array}{c}\rightarrow \downarrow \\\longrightarrow \end{array}}{\begin{array}{c}\\-(5-y)+2\,y=4\end{array}}}$

resultando una sola ecuación en y, que podemos resolver:

${\displaystyle -(5-y)+2\,y=4}$

${\displaystyle -5+y+2\,y=4}$

${\displaystyle y+2\,y=4+5}$

${\displaystyle 3\,y=9}$

${\displaystyle y={\frac {9}{3}}}$

${\displaystyle y=3\,}$

con lo que ya tenemos el valor de y. Con este valor de y en la primera ecuación, despejamos la x:

${\displaystyle x=5-y\,}$

${\displaystyle y=3\,}$

que resulta:

${\displaystyle x=5-3\,}$

${\displaystyle x=2\,}$

la solución del sistema es, por tanto:

${\displaystyle x=2\,}$

${\displaystyle y=3\,}$

Naturalmente habríamos llegado a la misma solución, despejando tanto la x como la y en cualquiera de las dos ecuaciones y sustituyéndola en la otra ecuación.

Veamos cuál sería el resultado si despejáramos la y de la segunda ecuación:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.{\begin{array}{cc}\\\rightarrow &y={\cfrac {4+x}{2}}\end{array}}}$

si ahora sustituimos el valor despejado de y de la segunda ecuación en la primera:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\-x&+&2y&=&4\end{array}}\right.{\begin{array}{cc}\\\rightarrow &y={\cfrac {4+x}{2}}\end{array}}{\begin{array}{c}\longrightarrow \\\rightarrow \uparrow \end{array}}{\begin{array}{c}x+{\cfrac {4+x}{2}}=5\\\,\end{array}}}$

resultando una sola ecuación de primer grado con la incógnita x, que resolvemos así:

${\displaystyle x+{\cfrac {4+x}{2}}=5\,}$

${\displaystyle 2\,x+4+x=10\,}$

${\displaystyle 2\,x+x=10-4\,}$

${\displaystyle 3\,x=6\,}$

${\displaystyle x={\frac {6}{3}}\,}$

${\displaystyle x=2\,}$

con lo que tenemos el valor de x. Para calcular y sustituimos este valor en la segunda ecuación despejada en y:

${\displaystyle y={\cfrac {4+x}{2}}}$

${\displaystyle x=2\,}$

con lo que tenemos:

${\displaystyle y={\cfrac {4+2}{2}}}$

${\displaystyle y={\cfrac {6}{2}}}$

${\displaystyle y=3\,}$

Con lo que obtenemos el mismo resultado: el sistema solo tiene una solución y todos los caminos nos llevan e ella, porque el método de resolución no afecta el resultado, sólo a las operaciones que hay que hacer para encontrarla.