Profesor Ligdami: Integrales indefinidas

¿Qué es la integración?

Integrar es el proceso recíproco de derivar, es decir, dada una función $f(x)$ , busca aquellas funciones $F(x)$ que al ser derivadas conducen a $f(x)$ .

Se dice, entonces, que $F(x)$ es una primitiva o antiderivada de $f(x)$ ; dicho de otro modo las primitivas de $f(x)$ son las funciones derivables $F(x)$ tales que:

$F'(x)=f(x)$

Si una función $f(x)$ tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

$\left [ F(x)+C \right ]'=F'(x)+0=F'(x)=f(x)$

¿Qué es la integral indefinida?

La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por $\int f(x) dx$ .
Se lee : integral de $f$ de $x$ diferencial de $x$ .
$\int$ es el signo de integración.
$f(x)$ es el integrando o función a integrar.
$dx$ es diferencial de $x$ , e indica cuál es la variable de la función que se integra.
$C$ es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$ entonces: $\int f(x)dx=F(x)+C$
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

$\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx= \int f(x)+ \int g(x)dx$

2 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

$\int k f(x)dx= k \int f(x)dx$

Integrales Indefinidas

La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.

Primitivas

Dada una función f (x), se dice que la función F (x) es primitiva de ella si se verifica que F¿ (x) = f (x). La operación consistente en obtener la primitiva de una función dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.

De esta definición se desprende que la función f (x) posee infinitas primitivas, ya que si F (x) es primhtiva de f (x), también lo será cualquier otra función definida como G (x) = F (x) + C, siendo C un valor constante.

El conjunto de todas las primitivas de una función f (x) dada se denomina integral indefinida de la función, y se denota genéricamente como:

Las primitivas de una función forman una familia de curvas desplazadas verticalmente unas de otras. Así, la función f (x) = x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante, tal como se muestra a la derecha.

Propiedades de las primitivas

Aplicando las propiedades de la derivación (ver t43), es posible determinar algunas propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de linealidadsirven para descomponer integrales complicadas en otras más sencillas:

La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.
La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Tabla de integrales inmediatas

En la tabla siguiente se resumen las reglas de integración de algunas funciones comunes. En general, se llama integrales inmediatas a las que se deducen directamente de esta tabla y de las propiedades de linealidad de la integración.

Tabla de integrales inmediatas.

Introducción
Recordatorio: concepto de integral y propiedades
27 Integrales Inmediatas Resueltas

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Introducción

Este es el nivel básico del cálculo de primitivas después de las integrales que se obtienen directamente a partir de la tabla de derivadas.
Las llamamos inmediatas ya que el método que usaremos consiste en, teniendo en cuenta las derivadas elementales (las de la tabla), conseguir en el integrando una función multiplicada por su derivada. De este modo, por la regla de la cadena, la primitiva es dicha función.
Por tanto, necesitamos conocer las derivadas elementales, las reglas de derivación y la regla de la cadena y las propiedades de las integrales

Definición de primitiva:
Las primitivas de una función $F (x)$ se representan por

$\int F (x) d x$
Son el conjunto de funciones $f (x)$ cuyas derivadas son iguales a $F (x)$ . Es decir, $f (x)$ es una primitiva de $F (x)$ si $f^{'} (x) = F (x)$ .

Hablamos en plural ya que, por ejemplo, $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x^{2} + 2$ son dos primitivas distintas de $F (x) = 2 x$ .
Nótese que la diferencia entre ambas primitivas es sólo una constante. Por ello, cuando calculamos una integral, siempre escribimos la constante de integración $K$ :

El símbolo $\int$ se denomina signo integral y $d x$ indica que la variable de integración es $x$ .

Ejemplos:

\int 2 y x d x = y x^{2} + K

\int 2 y x d y = y^{2} x + K

En la primera integral, tratamos la

y

como una constante, integrando respecto de

x

. En la segunda, es al contrario.

Propiedades de las integrales:

Integral de una Suma

Es decir, la integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de ambas funciones.
Producto por una constante

Es decir, las constantes (números o parámetros; o factores que no sean función de x) salen fuera de la integral multiplicándola.
Esta propiedad será útil tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, pues en ocasiones necesitamos en el integrando un número en concreto para aplicar la regla de la cadena, por lo que multiplicaremos y dividiremos la integral por este número y, aplicando la propiedad, podemos introducir el factor que multiplica (o rl que divide) en el integrando.