Profesor Ligdami: Progresión aritmética

Definición de progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por $d$ .

Entonces $d=a_n-a_{n-1}$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$3 - 8 = -5$

$-2 - 3 = -5$

$-7 - (-2) = -5$

$-12 - (-7) = -5$

$d=-5$

Es una progresión aritmética que se forma sumando $-5$ al término anterior. Así los siguientes términos serían:

$8, 3, -2, -7, -12, -17, -22, -27,...$

Notamos que la expresión $-5n+13$ nos da el término enésimo en la progresión.

Por ejemplo para obtener el cuarto término de la progresión sustituyo con $4$ ,

$-5(4)+13=-20+13=-7$

Calcular el término general

Para calcular el término general en una progresión aritmética consideramos los siguientes dos casos:

1 Si conocemos el 1er término.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

Primer término $8$

Término general $a_n = 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13$

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_k + (n - k) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$a_4 = -7$

$d = -5$

Término general $a_n = -7 + (n - 4) \cdot (-5) = -7 -5n + 20 = -5n+13$

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos $a$ y $b$ , y el número de medios a interpolar $m$ . La diferencia está dada por:

$\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}$

Ejemplo:

Interpolar tres medios aritméticos entre $8$ y $-12$ .

Tenemos los datos

$a = -12$

$b = 8$

Usando la fórmula

$\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}$

Podemos obtener el valor de $d$

$\displaystyle d=\frac{8-(-12)}{3+1}=\frac{20}{4}=5$

Finalmente

$8, 3, -2, -7, -12$

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean $a_i$ y $a_j$ dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

$a_i+ a_j = a_1 + a_n$

Entonces, es cierto que

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=...$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)$

$-4 = -4 = -4$

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

$\displaystyle S_n =\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros $5$ términos de la progresión: $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$\displaystyle S_5=\frac{(8-12)\cdot 5}{2}=\frac{-20}{2}=-10$

Prueba de Evaluación

Progresión aritmética

Definición de progresión aritmética

Calcular el término general

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

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