Definición de permutaciones

Permutar es colocar elementos en distintas posiciones.

También, se llama permutaciones de $\displaystyle m$ elementos en $\displaystyle n$ posiciones a las distintas formas en que pueden ordernarse los $\displaystyle m$ elementos ocupando únicamente las $\displaystyle n$ posiciones. Siempre y cuando $\displaystyle m\geq n$ .

Hay que tener en cuenta lo siguiente:

Sí importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación
No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación

Para obtener el total de maneras en que se pueden colocar m elementos en n posiciones se utiliza la siguiente fórmula:

$\displaystyle P_{n}^{m}= \frac{m!}{(m-n)!}$

Si en dado caso, $\displaystyle m=n$ para calcular el total de permutaciones se utiliza la siguiente fórmula:

$\displaystyle P_{n}= n!$

A continuación, analiza los siguientes ejemplos utilizando lo anteriormente mencionado.

Ejemplos de problemas de permutaciones

1Calcular las permutaciones de $\displaystyle 6$ elementos en $\displaystyle 6$ posiciones.

Solución:

$\displaystyle P_{6}= 6!= 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1= 720$

2¿Cuántos números de $\displaystyle 5$ cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: $\displaystyle 1,2,3,4,5$ ?

Solución:

$\displaystyle m=5$ y $\displaystyle n=5$

Sí entran todos los elementos, ya que tenemos la misma cantidad de elementos que de posiciones
Sí importa el orden
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

$\displaystyle P_{5}= 5!= 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1= 120$

3¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de ocho butacas?

Solución:

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las $\displaystyle 8$ personas
Sí importa el orden
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir

$\displaystyle P_{8}= 8!= 40320$

4¿Cuántas formas diferentes hay de colocar a las letras $\displaystyle A,B,C$ en tres posiciones?

Solución:

$\displaystyle P_{3}= 3\cdot 2\cdot 1= 6$

Aquí las $\displaystyle 6$ formas a las que se refiere el calculo:

$\displaystyle ABC, ACB,BAC,BCA,CAB,CBA$

5Si tenemos a $\displaystyle 3$ elementos y queremos colocarlos en $\displaystyle 2$ posiciones, ¿de cuántas maneras se puede realizar?

Solución:

$\displaystyle P_{2}^{3}= \frac{3!}{(3-2)!}= 3!=6$

Tres elementos $\displaystyle ABC$ , en dos posiciones:

Son muchas las aplicaciones de las permutaciones debido a que existen conteos muy complejos que se simplifican de esta manera. Hay que recalcar que en las permutaciones sí importa el orden en que se presentan los elementos.

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MAS SOBRE PERMUTACIONES

La permutación es una técnica de conteo que permite calcular las posibles ordenaciones de los elementos de un conjunto o número de elementos del espacio muestral de un experimento aleatorio. En esta técnica de conteo se considera que existe el orden en la muestra, pero no es posible repetir ningún elemento de la población en su conformación.

Dado un experimento aleatorio con una población N y una muestra n, si en la muestra existe orden pero no repetición, el número de elementos del espacio muestral corresponde a la permutación de n en N, la cual se simboliza _NP_n y se define como:

Donde, n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1, y 0!=1

EJEMPLO 1

Dana, Camilo y Natalie van a formar un comité para administrar una empresa. Los cargos que habrá en el comité son: presidente, vicepresidente y secretario. ¿De cuantas formas se puede constituir el comité?

Solución:

En este caso se considera que hay un orden jerárquico: presidente, vicepresidente y secretario. Además, una persona no puede ocupar dos cargos, luego, no es posible la repetición.

Como es un ejemplo sencillo, con pocos elementos en el espacio muestral, se puede organizar una tabla donde se puedan apreciar las formas de constituir el comité:

	PRESIDENTE	VICEPRESIDENTE	SECRETARIO
1	Dana	Camilo	Natalie
2	Dana	Natalie	Camilo
3	Camilo	Dana	Natalie
4	Camilo	Natalie	Dana
5	Natalie	Dana	Camilo
6	Natalie	Camilo	Dana

Como ven existen seis formas distintas de constituir el comité.

En este caso N=3 y n=3, ya que la población consta de tres elementos (personas), y en cada muestra se toman los tres. Aplicando la fórmula se corrobora el resultado anterior:

EJEMPLO 2

Hallar la cantidad de maneras en que pueden obtener las medallas de oro, plata y bronce 8 ciclistas que participan en un campeonato.

Solución:

En este experimento, se pretende formar grupos de 3 individuos con los 8 participantes. Es decir, para este caso N=8 y n=3. Por lo tanto:

En conclusión, se pueden formar de 336 maneras diferentes.

EJEMPLO 3

Si se eligen los colores amarillo, azul, rojo y verde para construir banderas en las que no se puede repetir un color y en las que se considera el orden

a) ¿Cuántas banderas diferentes de cuatro colores salen?

b) ¿Cuántas banderas diferentes de dos colores salen?

Solución:

a) Para este caso, N=4 y n=4, ya que se cuenta con cuatro colores y se emplearán todos cuatros en cada muestra:

Por lo tanto, el número de banderas diferentes que se pueden construir con los cuatro colores tomados de cuatro en cuatro, es 24.

Observa todas las opciones haciendo clic aquí.

b) Claramente en este caso, N=4 y n=2, ya que se forman banderas de dos colores, disponiendo de los cuatro colores

Por lo cual, se pueden formar 12 banderas diferentes con cuatro colores tomados de 2 en 2.

Permutación con repetición, ejercicios resueltos

La permutación con repetición, se usa cuando en un total de “n” elementos, el primero se repite “a” veces, el segundo “b” veces, el tercero “c” veces…

La fórmula para calcular el número de permutaciones u ordenamientos, es la siguiente:

permutación con elementos repetidos fórmula

Donde:

n = a+b+c

Hay tres condiciones en la permutación con repetición:

Importa el orden.
Hay elementos repetidos.
Participan todos los elementos en los ordenamientos.

Ejemplo 1

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?

Solución:

Coloquemos algunas palabras como ejemplos:

ANANAB.
BANAAN.
NAANAB.

En este caso, podemos ver que algunos elementos se repiten: la letra A aparece 3 veces en la palabra BANANA, mientras que la letra N aparece 2 veces. Además, importa el orden en el que se coloquen las letras, ya que ANANAB no es la misma palabra que BANAAN. Finalmente, participan todos los elementos en los ordenamientos, es decir, las 6 letras de la palabra BANANA.

Entonces, podemos aplicar la fórmula de permutación con repetición, teniendo en cuenta que:

Número de veces que se repite la letra B = 1
Número de veces que se repite la letra A = 3
Número de veces que se repite la letra N = 2
Número total de elementos: n = 1+3+2 ➜ n = 6

En total, se pueden formar 60 palabras diferentes con las letras de la palabra BANANA.

Ejemplo 2

En una urna, hay 5 bolas del mismo tamaño y peso, de los cuales, 3 son rojas y 2 son azules. ¿De cuántas maneras se pueden extraer una a una las bolas de la urna?

Solución:

Coloquemos algunas formas de extraer las bolas:

Roja – Roja – Azul – Roja – Azul.
Azul – Roja – Roja – Azul – Roja.
Roja – Azul – Roja – Azul – Roja.

En cada forma de extraer las bolas, importa el orden, hay elementos repetidos y participan todos los elementos (bolas), por ello, usaremos la fórmula de permutación con elementos repetidos.

Número de bolas rojas: 3.
Número de bolas azules: 2.
Número total de elementos: n = 3+2 ➜ n=5

En total, se pueden extraer las bolas de 10 formas diferentes.

Bibliográfia

Permutación

Permutaciones y Combinaciones

Profesor Ligdami

Permutaciones

Definición de permutaciones

Ejemplos de problemas de permutaciones

Permutación con repetición, ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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