Profesor Ligdami: Limites infinitos

En esta página calculamos 50 límites de funciones muy variadas explicando los razonamientos, con y sin indeterminaciones: cocientes, polinomios, raíces, exponenciales, etc.

El límite de una función nos proporciona información sobre su comportamiento. Por ejemplo, sobre su continuidad y las posibles asíntotas.

En esta página vamos a ver las reglas básicas para operar con infinitos, las indeterminaciones y algunos procedimientos para evitar las indeterminaciones. Finalmente, resolvemos 50 límites de forma detallada.

Una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que a veces aparece en el cálculo de límites y cuyo valor no se puede predecir, depende de la función del límite a calcular.

Por ejemplo, si una función tiende a $5 / \infty$ , entonces su límite es $0$ . Sin embargo, no sabemos de antemano el límite de una función que tiende a $\infty / \infty$ (podría ser infinito o un valor finito). Por esta razón, decimos que $\infty / \infty$ es una indeterminación.

Recordad que

el límite de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $f (a)$ si existe $f (a)$ ,
el límite cuando $x$ tiende a $a$ existe si y sólo si existen los límites laterales por la izquierda y la derecha de $a$ y coinciden.
Finalmente, comentamos que existen métodos más sencillos y rápidos de calcular límites y evitar las indeterminaciones, como son la regla de L'Hôpital (cálculo diferencial) y los infinitésimos equivalentes.

 Operaciones con infinitos

Reglas para sumar, restar, multiplicar, dividir o elevar con infinitos.

Estas son las operaciones cuyo resultado se puede predecir

(al contrario que las indeterminaciones).

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Sea $k$ un número real distinto de $0$ .

Sumas:

Cálculo de límites (sin aplicar la regla de L'Hôpital ni infinitésimos equivalentes), con y sin indeterminaciones. Límites resueltos paso a paso. Límites para bachillerato y universidad. Análisis de una variable real. Matemáticas.

La resta es análoga. Por ejemplo,

$k - \infty = - \infty$

$k - (- \infty) = + \infty$

Productos:

Observad que el producto de infinitos o el producto de infinito por una constante

( $k \neq 0$ ) es infinito. El signo del resultado depende de la regla de los signos.

Sin embargo, infinto por cero ( $\infty \cdot 0$ ) es una indeterminación.

Cocientes:

El cociente de ceros y el de infinitos es indeterminado.

Potencias:

Las potencias $\infty^{0}$ , $0^{0}$ y $1^{\infty}$ son indeterminaciones.

Indeterminaciones y procedimientos

Las siete indeterminaciones que existen son las siguientes:

Cuando aparece una indeterminación, tenemos que aplicar

determinados razonamientos o procedimientos que permitan hallar

el resultado del límite. A continuación, enumeramos algunos de los

procedimientos:

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Cero partido cero, $0 / 0$ :

Suele aparecer en el límite de un cociente de polinomios cuando $x$

tiende a una de sus raíces comunes. En este caso, se puede simplificar

el cociente y evitar así la indeterminación.

Infinito menos infinito, $\infty - \infty$ :

Si aparece en el límite de un polinomio, el resultado es infinito. Su signo
depende del coeficiente del monomio con mayor grado.

Si aparece en una resta de raíces, pueden ayudarnos las siguientes fórmulas:

$a - b = \frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}$

$a - b = \frac{a^{3} - b^{3}}{a^{2} + a b + b^{2}}$

Si aparece en una resta de funciones muy distintas (por ejemplo, un logaritmo
y una exponencial o un polinomio), hay que fijarse en la función cuyo
crecimiento es mayor.

1 elevado a infinito, $1^{\infty}$ :

Si la función $f$ tiende a $1$ y la función $g$ tiende a infinito, entonces

Para evitar esta indeterminación, aplicamos la siguiente fórmula:

Nota 1: la fórmula funciona también con $x \to - \infty$ ó $x$ tendiendo a un número

finito.

Nota 2: Es habitual escribir una exponencial $e^{h (x)}$ como $e x p {h (x)}$

(es una cuestión

de notación). Así,

Cociente de infinitos, $\infty / \infty$ :

Puede aparecer en cocientes muy variados: polinomios, raíces, exponenciales...

En cada caso se procederá de forma distinta.

Si tenemos un cociente con exponenciales, dividimos entre la exponencial
cuya base sea mayor.

Si tenemos un cociente de polinomios $P (x) / Q (x)$ siendo $p$ y $a_{p}$ el grado y

Observad que el resultado del primer caso es infinito, pero multiplicamos

Nota: en el caso del límite tendiendo a $- \infty$ , se aplica el mismo criterio,

aunque es más complicado calcular el signo en el primer caso porque
depende también de si los grados de los polinomios son ambos pares
(o impares) o uno es par y el otro es impar.
por el signo cociente de los coeficientes principales de los polinomios para
saber el signo (positivo o negativo) del infinito.
el coeficiente principal de

P (x)

Si tenemos un cociente de raíces de

polinomios, aplicamos el criterio anterior,
aunque el orden de las raíces divide a los grados de los polinomios.

Si tenemos un cociente con funciones muy distintas, como puede ser un

Por ejemplo, como una exponencial crece más rápido que un polinomio,
Infinito, si la exponencial está en el numerador.
Cero, si la exponencial está en el denominador.
el límite de sus cociente es: polinomio entre una exponencial

o un logaritmo, es suficiente comparar el crecimiento de dichas funciones.

EJERCICIOS RESUELTOS