Profesor Ligdami: Integrales por cambio de variable

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

$\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx=F(u)+\textup{C}$

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

$\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx$

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

$t=u$

$dt={u}'\, dx$

2Se sutituye la diferencial en la integral:

$\displaystyle \int {f}'(t)\cdot {u}' dx=\int {f}'(t)\, dt$

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

$\displaystyle \int {f}'(t)\, dt=f(t)+\textup{C}$

4 Se vuelve a la variable inical:

$f(t)+\textup{C}=f(u)+\textup{C}$

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral

$\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}}\, dx$

1 Realizamos el cambio de variable

$\sqrt[3]{1 + 2x} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 1+2x=t^{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\cfrac{t^{3}-1}{2}$

Calculamos la diferencial

$2\, dx=3t^{2}\, dt \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ dx=\cfrac{3t^{2}\, dt}{2}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \cfrac{t^{3}-1}{2} \right )^{2}}{t} \cdot \cfrac{3t^{2}}{2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{2} \int \left ( \cfrac{t^{6}-2t^{3}+1}{4} \right ) \cdot t \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la nueva integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt & = & \cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t=\sqrt[3]{1+2x}$

$\cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}$

Así la solución buscada es

$\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}$

MAS EJERCICIOS

1....... $\displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} x^2 + 1 = t^2 & \Longrightarrow & x = \sqrt{t^2 - 1} \\\\ 2x \, dx = 2t \, dt & \Longrightarrow & dx = \cfrac{t \, dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \sqrt{t^2 - 1} \right )^3}{t} \cdot \cfrac{t \, dt}{\sqrt{t^2 - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( t^2 - 1 \right )^{\frac{3}{2}}}{\left ( t^2 - 1 \right )^{\frac{1}{2}}} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{t^3}{3} - t + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt{x^2 + 1}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{t^3}{3} - t & = & \cfrac{1}{3} \left ( \sqrt{x^2 + 1} \right )^3 - \sqrt{x^2 + 1} \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int \cfrac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \cfrac{1}{3} \left ( \sqrt{x^2 + 1} \right )^3 - \sqrt{x^2 + 1} + C$

2 .... $\displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx$

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

$\begin{array}{rcl} 1 + x = t^2 & \Longrightarrow & x = t^2 - 1 \\\\ dx = 2t \, dt & & \end{array}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( t^2 - 1 \right ) \cdot t \cdot 2t \, dt \\\\ & = & \displaystyle 2 \int \left ( t^4 - t^2 \right ) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la integral obtenida

$\begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \int \left ( t^4 - t^2 \right ) \, dt & = & \displaystyle \cfrac{2}{5}t^5 - \cfrac{2}{3}t^3 + C \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t = \sqrt{1 + x}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{5}t^5 - \cfrac{2}{3}t^3 & = & \displaystyle \cfrac{2}{5}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^5 - \cfrac{2}{3}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^3 \end{array}$

Así, la solución en termino de la variable inicial es

$\displaystyle \int x \sqrt{1 + x} \, dx = \displaystyle \cfrac{2}{5}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^5 - \cfrac{2}{3}\left ( \sqrt{1 + x} \right )^3 + C$

EJERCICIO PARA RESOLVER

Integrales por cambio de variable

Método de sustitución

Pasos para integrar por cambio de variable

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