Factor integrante

Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferemcial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial

$\begin{displaymath} \frac{y}{x^2} dx + \left(y - \frac{1}{x} \right) dy = 0 \end{displaymath}$

(1.3)

es exacta, pues

$\begin{displaymath} \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^2} = \frac{\partial N}{\partial x} \end{displaymath}$

Sin embargo, al multiplicarla por el factor , la ecuación /refedo2:eq1 se transforma en

$\begin{displaymath} y dx + \left( x^2y - x \right) dy = 0 \end{displaymath}$

(1.4)

la cual no es exacta.

Ejemplo:

Resuelva la siguiente ecuación diferencial

$\begin{displaymath} \left( xy^2 - y^3 \right) dx + \left(1 - xy^2 \right) dy = 0 \end{displaymath}$

Primero calculamos

$\begin{displaymath} \frac{\partial M}{\partial y} = 2xy - 3y^2 \hspace{2cm} \frac{\partial N}{\partial x}= -y^2 \end{displaymath}$

Ahora intentamos hallar un factor integrante que dependa únicamente de o de , en este caso encontramos que depende de .

$\begin{displaymath} g(y) = \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial... ...\frac{2y^2 -2xy}{y^2 \left( x - y \right)} = -\frac{2}{y} \end{displaymath}$

Con lo cual el factor integrante esta dado por

$\begin{displaymath} \mu(y) = e^{ \int g(y) dy } = e^{-2 ln(y)} = \frac{1}{y^2} \end{displaymath}$

Y al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante obtenemos la ecuación

$\begin{displaymath} \left( x - y \right) dx + \left( \frac{1}{y^2} - x \right) dy = 0 \end{displaymath}$

la cual es exacta y tiene como solución

$\begin{displaymath} \frac{x^2}{2} - \frac{1}{y} - xy = c \end{displaymath}$

Ejemplo

Halle los valores de y de forma tal que $\mu(x,y)=x^p y^q$ sea un factor integrante de la ecuación diferecnial

$\begin{displaymath} \left(2y^2+ 4x^2y \right)dx + \left( 4xy + 3x^3 \right)dy = 0 \end{displaymath}$

(1.9)

Si $\mu(x,y)=x^p y^q$ es un factor integrante entonces al multiplicar la ecuación diferencial (1.9) obtenemos que

$\begin{displaymath} \left( 2x^p y^{q+2} + 4x^{p+2} y^{q+1} \right)dx + \left( 4x^{p+1} y^{q+1} + 3x^{p+3}y^q \right) dy = 0 \end{displaymath}$

es una ecuación exacta, es decir, debe cumplir que

$\begin{displaymath} 2 \left( q + 2 \right)x^p y^{q+1} + 4 \left( q + 1 \right) ... ... + 1 \right) x^p y^{q+1} + 3\left( p + 3 \right) x^{p+2} y^q \end{displaymath}$

igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{rcl} 2 \left(q + 2 \right) & = & 4... ...ight) & = & 3 \left( p + 3 \right) \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$