LAS MEDIDAS DE VARIABILIDAD.

Medidas de Variabilidad

¿Qué son las medidas de variabilidad?
Rango
Desviación media
Desviación semi-intercuartil
La varianza y la desviación estándar
Coeficiente de variación
Problemas

1. ¿Qué son las medidas de variabilidad?

La puntuación media en una distribución es importante en muchos contextos de investigación. Pero también lo es otro conjunto de estadísticos que cuantifican que tan variables, o que tan dispersas, tienden a ser las puntuaciones. ¿Las puntuaciones varían mucho, o tienden a tener valores muy similares. A veces, la variabilidad en las puntuaciones es la cuestión central en una investigación. La variabilidad es un concepto cuantitativo, de modo que nada de esto se aplica a las distribuciones de datos cualitativos.

Hay varias razones para analizar la variabilidad en una serie de datos. Primero, al aplicar una medida de variabilidad podemos evaluar la medida de tendencia central utilizada. Una medida de variabilidad pequeña indica que los datos están agrupados muy cerca, digamos, de la media. La media, por lo tanto es considerada bastante representativa de la serie de datos. Inversamente, una gran medida de variabilidad indica que la media no es muy representativa de los datos.

Una segunda razón para estudiar la variabilidad de una serie de datos es para comparar como están esparcidos los datos en dos o más distribuciones. Por ejemplo, la calificación promedio de dos estudiantes, A = {90, 80, 75, 75 } y B = {90, 55, 85, 90 }, es de 80. Basados en esto podríamos pensar que sus calificaciones son idénticas. Pero si revisamos el detalle de sus calificaciones vemos que esta conclusión no es correcta.

Hay muchas medidas de variabilidad intuitivamente atractivas, pero poco utilizadas, como el rango, la desviación media y la desviación cuartilar. De lejos, las medidas de variabilidad más ampliamente utilizadas son las que tienen que ver con cómo extender los resultados a partir de la media. Estas son la desviación estándar (s), y la varianza (s² o "var").

2. Rango o recorrido o amplitud total

La forma más sencilla de medir la variabilidad es el rango. Es la diferencia entre los más altos y más bajos valores en un conjunto de datos. En la forma de una ecuación:

Rango = valor más alto - valor más bajo

El rango tiene la ventaja de ser fácil de calcular y entender.

Ejemplo:

Las calificaciones de cinco estudiantes de estadística son: 8, 8, 10, 6, y 8. ¿Cuál es el rango de las calificaciones?

Rango = valor más alto - valor más bajo = 10 - 6 = 4

Rango para datos agrupados

Para estimar el rango de una distribución de frecuencia se resta el límite inferior del intervalo de clase más chico del límite superior del intervalo de clase más grande

Ejemplo:

Una muestra de las edades del público de un concierto se encuentra distribuida de la siguiente manera:

Edades	Número de personas
15 - 19	2
20 - 24	1
25 - 29	4
30 - 34	15
35 - 39	10
40 - 44	5
45 - 49	3

Rango = mayor limite superior - menor límite inferior = 49 - 15 = 34

Interpretación: por la sencillez en determinarla, puede ser útil cuando las series son bastante homogéneas ya que la amplitud de la serie puede tomarse como una aproximación del promedio.

3. Desviación media

La desviación media mide la cantidad promedio que varían los datos respecto a su media. La definición es:

Desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los datos respecto a su media.

La fórmula de la desviación media ( Dm ) es:

Ejemplo: Las calificaciones de cinco estudiantes de estadística son: 8, 8, 10, 6, y 8. ¿Cuál es la desviación media de las calificaciones?

X	x-m	/ x-m /
8	0	0
8	0	0
10	2	2
6	-2	2
8	0	0
SUMA		4

Dm =	S\| X -		\|	=	4	= 0.8
	n				5

Significado de la Dm: entre menor sea su valor, menos dispersión tienen los datos de la serie. Esta aseveración tiene validez para todas las medidas de variabilidad.

Desviación media para datos agrupados

En el caso de que los datos se encuentren agrupados en una distribución de frecuencia la fórmula es :

Ventajas y Desventajas de la desviación media

La desviación media tiene dos ventajas. Utiliza para su cómputo todos los elementos de la serie de datos y es fácil de entender. Sin embargo, es difícil trabajar con valores absolutos y por ello la desviación media no es usada frecuentemente.

5. La varianza y la desviación estándar

La varianza y la desviación estándar sirven para cuantificar la variabilidad de una muestra midiendo su dispersión alrededor de la media. La definición es la siguiente:

Varianza. Es la media aritmética de las desviaciones cuadradas de los datos respecto a la media.

Desviación estándar. Es la raíz cuadrada de la varianza. Es la mas importante de las mediadas de dispersión.

Varianza y Desviación Estándar para datos no agrupados

Las fórmulas de la varianza de una población y de una muestra son ligeramente diferentes. Las fórmulas son:

En la formula de las muestras algunos autores ponen en el denominador n-1 , justificándose este caso en la estimación de parámetros, tema de la inferencia estadística, ya que tiene que ver con un estadístico llamado “grados de libertad”, pero no se ahondará más sobre esto. Otros autores utilizan n.

Las desviaciones estándar de la población y muestra se calculan simplemente sacando la raíz cuadrada a la respectiva varianza.

Ejemplo El contenido de cinco botellas de perfume seleccionadas de forma aleatoria de la línea de producción son (en ml): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las observaciones muestreadas?

X	x-m	(x-m)¨2
85.4	0.4	0.16
85.3	0.3	0.09
84.9	-0.1	0.01
85.4	0.4	0.16
84.0	-1.0	1.00
Sx=425.0		1.42

Varianza y Desviación Estándar para datos agrupados

Si los datos están agrupados en una distribución de frecuencia, la varianza y la desviación estándar de la muestra se pueden aproximar sustituyendo Sfx² por Sx² y Sfx por Sx. Las fórmulas quedarían de la siguiente manera:

Ejemplo:

Calcular la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.

duración de las baterías (meses) (X)	Número de baterías (f)
15 - 19	2
20 - 24	1
25 - 29	4
30 - 34	15
35 - 39	10
40 - 44	5
45 - 49	3

Primeramente, calculamos la marca de clase,

para después calcular los productos fX y fx²

para proceder finalmente a calcular las sumatorias SfX y Sfx² y aplicar las fórmulas.

Interpretación de la desviación típica:

tal como hemos definido esta medida, no se le encuentra una interpretación evidente. Su interpretación y significado, se encuentra al referirla a la relación que guarda con las distribuciones que tienden a la simetría o perfectamente normales. Una distribución normal, se define completamente por su media aritmética y por su desviación típica. Por el momento nos vamos a conformar con algunas aseveraciones que haremos de la desviación típica referida a una distribución normal. Si asumimos que una distribución es normal, se cumple lo siguiente:

Ejemplos:

1) En una empresa los salarios han tenido un promedio de $500.00 mensuales, con una desviación típica de $50.00. ¿Qué sucede con la media y la varianza de los salarios si :

a) a cada salario se le aumentan $45.00

b) a cada salario se le aumenta el 10%

c) se efectúan ambos aumentos simultáneamente.

Solución con la media:

sea x : salarios, k : constante , M: media

a) k=45 ; sabemos que M(x + K)= M(x) + k

M(x) + k = 500 + 45 = $545.00 nueva media

b) k=1.10 ; sabemos que M(kx) = k M(x) entonces

k M(x) = 1.1 (500) = $550.00 nueva media

c) como k₁ = 1.1 ; k₂ = 45 luego M(k₁x + k₂) = M(k₁x) + M(k₂) = k₁ M(x) + k₂

k₁ M(x) + k2 = 1.1 (500) + 45 = $595.00 nueva media

Solución con la varianza:

a) k=45 ; sabemos que V(x + K)= V(x) = (50)² = 2500.00

b) k=1.10 ; sabemos que V(kx) = k² V(x) = (1.1)²(50)² = 3025.00

c) como k₁ = 1.1 ; k₂ = 45 luego V(k₁x + k₂) = V(k₁x) + V(k₂) = ( k₁₎² V(x)

( k₁₎² V(x) = (1.1)² (50)² = 3025.00

CONCLUSION: la media aritmética quedó aumentada en las tres situaciones, mientras que la varianza solo quedó incrementada en la 2ª situación.

2) En una empresa, la distribución de salarios tiene una media de $150.00 y una desviación típica de $25.00. La empresa como solución a un conflicto laboral, propone dos alternativas:

a) un aumento general del 60% de cada salario

b) un aumento general del 40% de salario y una bonificación adicional de $30.00, a cada obrero.

¿Cuál de las alternativas propuestas le conviene aceptar al sindicato?. Justifique su respuesta

Solución:

Conclusión: Como en ambas alternativas el promedio es igual , se prefiere la alternativa que tiene menor variabilidad , es decir, la alternativa b)

6. Coeficiente de variabilidad

Las medidas de variabilidad vistas anteriormente son números concretos, es decir son expresadas en las unidades de las variables en estudio. Con ellas se puede conocer la dispersión de los datos de una serie estadística, pero no se puede comparar la dispersión de dos o mas variables dadas en diferente unidad de medida. Por ejemplo podemos conocer la desviación típica, de las variables peso y estatura de un grupo de personas, digamos 5.5 libras y 10 centímetros, respectivamente. ¿podría Ud. decir, cual de las dos variables, tiene menor variabilidad?

La medida de variabilidad, cualquiera que sea, acusará menor dispersión cuanto menor sea su valor; pero para el problema planteado anteriormente, donde las medidas de variabilidad están expresadas con diferentes unidades , ¿se podrá tomar una decisión?. Es claro que no podemos contestar la pregunta. Se necesita de una medida relativa para poder distinguir el grado de variabilidad o dispersión de dos o más variables. Si se trata de una misma variable analizada por dos grupos, donde la media aritmética es bastante similar, se puede saber qué grupo tiene menor variabilidad. Si tenemos dos grupos de estudiantes de sexto grados A y B, cu7yas medias del rendimiento en matemática son 60 y 62 puntos, y desviaciones típicas de 5 y 8 puntos respectivamente, inmediatamente, decidimos que el grupo mas homogéneo es el grupo A, por ser su desviación menor que la del B. para resolver el problema de como establecer la diferencia en la variabilidad o dispersión de dos o más variables, utilizaremos el coeficiente de variabilidad , que es una medida relativa abstracta

El coeficiente de variación se define como la razón de la desviación estándar entre la media aritmética

Ventajas

El coeficiente de variación es útil cuando pretende comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en diferentes unidades de medición, pues el resultado será señalado en porcentajes.

Desventajas

Cuando el valor de la media es cercano a cero, el coeficiente de variación es muy sensible a pequeños cambios en la media, limitando su utilidad

A diferencia de la desviación estándar este no puede ser utilizado para elaborar intervalos de confianza para la media.

Aceptación o rechazo de la media aritmética:

La interpretación de este coeficiente es igual al de las otras medidas de dispersión. El grado de representatividad de la media detectado por medio del coeficiente de variabilidad, se da en la tabla siguiente:

Valor del C V	Grado en que la media representa a la serie
0 – 10	Media altamente representativa
10 – 20	Media bastante representativa
20 – 30	Media con representatividad
30 – 40	Media con representación dudosa
De 40% a más	Media carente de representatividad

Clase practica