Ecuaciones exponenciales

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Contenido de esta página:

• Breve Introducción
• Recordatorio de las propiedades de las potencias
• 25 ecuaciones exponenciales resueltas (sin aplicar logaritmos)

1. Introducción

Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponenciales, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece la incógnita, x. En esta sección resolveremos ecuaciones exponenciales sin usar logaritmos.
El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes. Por ejemplo:
$$3^{2x}=3^6$$La ecuación anterior se cumple si los exponentes son iguales. Por tanto, en este ejemplo el valor que debe tomar x es 3.
Para conseguir igualdades como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir las raíces como potencias. En ocasiones, tendremos que realizar un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o de segundo grado e, incluso, de grado mayor.
También se pueden resolver aplicando logaritmos, pero nosotros dejaremos este procedimiento para ecuaciones con mayor dificultad en las que las exponenciales tienen bases distintas y, por tanto, no podemos usar la técnica anterior de igualar exponentes. Por ejemplo, en la siguiente ecuación las bases son distintas (coprimas)
$$3^{x+3}=5^x$$y su solución (real) es, aplicando logaritmos,
$$x=3\frac{ln3}{ln\left(\frac{5}{3}\right)}$$

2. Propiedades de las potencias

Como una exponencial es realmente una potencia con una o varias incógnitas en el exponente, podemos utilizar las propiedades de las potencias para trabajar con las exponenciales.
Esto nos permite simplificar las ecuaciones exponenciales o escribirlas en una forma que facilite su resolución.
Las propiedades de las potencias son las siguientes:

Producto (misma base)	Potencia (de potencia)
Cociente	Exponente negativo
Inverso	Inverso

3. 25 Ecuaciones resueltas

En esta sección resolvemos 25 ecuaciones exponenciales de forma directa, aplicando las propiedades de las potencias y/o aplicando un cambio de variable.
No resolvemos ninguna ecuación aplicando logaritmos. Podemos encontrar ejemplos de este método de resolución en ecuaciones exponenciales explicadas (PyE).
Ecuación 1

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Podemos escribir 27 como la potencia $3^3=27$. De este modo, la ecuación queda como

Tenemos una igualdad entre dos potencias con la misma base. Para que la igualdad sea cierta, ambas potencias deben tener el mismo exponente:

---

Ecuación 2

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Escribimos 16 como una potencia de 2:

Podemos reescribir la ecuación como

Por tanto, igualando los exponentes,

Luego la solución de la ecuación exponencial es $x=2$.

Ecuación 3

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Escribimos 64 como una potencia de 2:

Operamos en la ecuación usando las propiedades de las potencias

Por tanto, obtenemos una ecuación de primer grado:

---

Ecuación 4

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Aplicando las propiedades de las potencias,

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

De este modo podemos extraer factor común de $2^x$:

Es decir, la solución es $x=3$.

---

Ecuación 5

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Reescribimos los sumandos de la ecuación:

Luego podemos reescribir la ecuación como

Tal y como está escrita la ecuación, podemos considerar la base común $3^x$. Como una de estas potencias está al cuadrado, aplicamos el cambio de variable siguiente

Sustituyendo en la ecuación obtenemos

Es decir, una ecuación de segundo grado

Multiplicamos por 9 la ecuación para simplificarla:

Las soluciones de esta ecuación son:

Por tanto, tenemos que

Al deshacer el cambio de variable,

La segunda opción no es posible porque es negativa (las potencias de 3 no pueden ser negativas). Por tanto, la única solución, $x$, de la ecuación exponencial debe cumplir

De donde obtenemos

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Ecuación 6

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Reescribimos los sumandos:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Sea el cambio de variable

Sustituyendo en la ecuación obtenemos una ecuación de segundo grado

cuyas soluciones son

Por tanto, tenemos que

Al deshacer el cambio de variable,

La segunda solución no es posible porque es negativa, pero la primera sí. Luego debe cumplirse

Por tanto, la solución de la ecuación exponencial es $x=-1$.

---

Ecuación 7

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Operamos para tener potencias con la misma base:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Aplicamos un cambio de variable:

Substituimos y obtenemos la ecuación de segundo grado

cuyas soluciones son

Por tanto,

La segunda solución no es posible por ser negtiva. Por tanto,

Es decir, debe cumplirse

---

Ecuación 8

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Escribimos $9^{x+1}$ como una potencia de base 3:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Llamamos

Substituimos y obtenemos la ecuación de segundo grado

La resolvemos

Por tanto,

Notemos que

Con lo que ambas son potencias de 3. Luego la ecuación exponencial tiene dos soluciones y son

---

Ecuación 9

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Escribimos las exponenciales como potencias de base 2:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Llamamos

Substituimos en la ecuación exponencial y obtenemos la ecuación de segundo grado

Resolvemos

Por tanto, como $t=2^x$,

Las soluciones $t=0$ y $t=-4$ no son posibles por ser una cero y la otra negativa. Luego la única solución solución es

---

Ecuación 10

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Podemos escribir 1 como una potencia de 10:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Por tanto, debe cumplirse

---

Ecuación 11

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Ecuación 12

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Ecuación 13

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Ecuación 14

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Ecuación 15

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Ecuación 16

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Ecuación 17

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Ecuación 18

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Ecuación 19 (dificultad alta)

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Ecuación 20

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Ecuación 21

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Ecuación 22

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Ecuación 23

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Ecuación 24

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