Profesor Ligdami: Derivadas de orden superior

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¿Qué son las derivadas de orden superior?

Al derivar una función cualquiera se genera una nueva función que ha sido derivada, es decir:

$\displaystyle f(x)={{x}^{2}}$

Si realizo la derivada de dicha función, obtendré.

$\displaystyle f'(x)=2x$

Que la puedo nombrar con otro nombre, por ejemplo:

$\displaystyle g(x)=2x$

Podríamos decir que la primera derivada de la función x², ahora es g(x), que también podemos llamar como segunda derivada. Y si a esta nueva función la vuelvo a derivar, obtendré una tercera derivada que también puedo llamar por otro nombre, por ejemplo:

$\displaystyle h(x)=2$

Y así podemos ir derivando, hasta notar que nuestra función derivada cada vez se hace cero. Pero en este artículo solo nos interesa entender que una función puede derivarse más de una vez, y que simbólicamente una segunda derivada, la podemos encontrar de esta forma.

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right)=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}$

Aunque para hacerlo más sencillo es mejor llevar la notación de esta manera:

$\displaystyle y''$

Esto indica que la función ha sido derivada 2 veces, y así sucesivamente.

$\displaystyle \frac{{{d}^{3}}y}{d{{x}^{3}}}=y'''=f'''(x)$

$\displaystyle \frac{{{d}^{4}}y}{d{{x}^{4}}}={{y}^{(4)}}={{f}^{(4)}}(x)$

$\displaystyle \frac{{{d}^{5}}y}{d{{x}^{5}}}={{y}^{(5)}}={{f}^{(5)}}(x)$

$\displaystyle \frac{{{d}^{6}}y}{d{{x}^{6}}}={{y}^{(6)}}={{f}^{(6)}}(x)$

Veamos si hemos entendido, con los siguientes ejemplos

Derivadas de Orden Superior Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1. Obtenga la segunda derivada de la siguiente función:

$\displaystyle y=10{{x}^{2}}-3x+1$

Solución:

Para obtener la segunda derivada, tenemos que obtener la primera, y esto nos da:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=20x-3$

Ahora procedemos a derivar nuevamente la función derivada para así obtener a lasegunda derivada.

Resultado:

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=20$

Ejemplo 2. Calcular la tercera derivada de la siguiente función:

$\displaystyle y=sen\left( 7x \right)$

Solución:

Para obtener la primera derivada, aplicamos la regla de la derivada del seno, quedando así

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=7\cos \left( 7x \right)$

Para obtener la segunda derivada, aplicamos la regla de la derivada del coseno, quedando así.

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-49sen\left( 7x \right)$

Para obtener la tercera derivada, aplicamos la regla de derivada del seno, para obtener nuestro resultado.

Resultado:

$\displaystyle \frac{{{d}^{3}}y}{d{{x}^{3}}}=-343\cos \left( 7x \right)$

Ejemplo 3. Obtenga la segunda derivada de la siguiente función:

$\displaystyle y={{e}^{2x}}\cos \left( 6x \right)$

Solución:

Para obtener la primera derivada, debemos observar que se trata del producto de dos funciones, por lo que se tendrá que derivar de esa manera:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}={{e}^{2x}}\frac{d}{dx}\cos \left( 6x \right)+\cos \left( 6x \right)\frac{d}{dx}{{e}^{2x}}$

Y derivando obtenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}={{e}^{2x}}\left[ -6sen\left( 6x \right) \right]+\cos \left( 6x \right)\left( 2{{e}^{2x}} \right)$

Ordenando la primera derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-6{{e}^{2x}}sen\left( 6x \right)+2{{e}^{2x}}\cos \left( 6x \right)$

Para calcular la segunda derivada, debe utilizarse la misma fórmula del producto de dos funciones, en este caso tenemos dos términos así que aplicamos.

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-6{{e}^{2x}}\left[ 6\cos (6x) \right]+sen(6x)(-12{{e}^{2x}})+2{{e}^{2x}}\left[ -6sen(6x) \right]+\cos (6x)(4{{e}^{2x}})$

Ordenando la segunda derivada

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-36{{e}^{2x}}\cos (6x)-12{{e}^{2x}}sen(6x)-12{{e}^{2x}}sen(6x)+4{{e}^{2x}}\cos (6x)$

Simplificando

Resultado:

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-32{{e}^{2x}}\cos (6x)-24{{e}^{2x}}sen(6x)$

Ejemplo 4. Obtenga la segunda derivada de la siguiente función:

$\displaystyle y=\sqrt{1+2t}$

Solución:

Para realizar la primera derivada, debemos expresar la función en forma de potencia y posteriormente derivar como una potencia, de esta forma:

$\displaystyle y={{\left( 1+2t \right)}^{\frac{1}{2}}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}{{\left( 1+2t \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{d}{dt}\left( 1+2t \right)$

Observe que se está derivando respecto a “t”, la variable principal.

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}{{\left( 1+2t \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 2 \right)$

Ordenando la primera derivada

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1+2t}}$

Vamos a regresar la primera derivada en su forma de potencia y realizaremos la segunda derivada, de esta forma.

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1+2t}}={{\left( 1+2t \right)}^{-\frac{1}{2}}}$

Y comenzamos a derivar

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-\frac{1}{2}{{\left( 1+2t \right)}^{-\frac{1}{2}-1}}\frac{d}{dt}\left( 1+2t \right)$

Luego

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-\frac{1}{2}{{\left( 1+2t \right)}^{-\frac{3}{2}}}\left( 2 \right)$

Simplificando

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-\frac{1}{{{\left( 1+2t \right)}^{\frac{3}{2}}}}$

Expresamos el denominador en forma de raíz, y obtenemos la segunda derivada.

Resultado:

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 1+2t \right)}^{3}}}}$

Ejemplo 5. Obtenga la tercera derivada de la siguiente función:

$\displaystyle y=\ln \cos 2x$

Solución:

Para obtener la primera derivada de la función, debemos derivar como un logaritmo natural, aplicando la regla de derivación adecuada, obtendríamos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{d}{dx}\left( \cos 2x \right)}{\cos 2x}$

Derivando obtenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-2sen2x}{\cos 2x}$

Aplicando la identidad trigonométrica para el sen a/cos a = tan a , obtenemos la primera derivada

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-2\tan 2x$

Para obtener la segunda derivada de la función, hay que derivar la tangente, quedando de esta forma:

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-2\frac{d}{dx}\left( \tan 2x \right)=-2{{\sec }^{2}}(2x)\frac{d}{dx}\left( 2x \right)$

Esto nos daría:

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-2{{\sec }^{2}}(2x)\left( 2 \right)$

Que finalmente sería, nuestra segunda derivada

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-4{{\sec }^{2}}(2x)$

Para obtener la tercera derivada, debemos derivar a la secante como una potencia, puesto que toda la función está elevada al cuadrado, a excepción del -4 que lo podemos colocar de lado izquierdo de la derivada.

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-4{{\left[ \sec (2x) \right]}^{2}}$

$\displaystyle \frac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=-4\frac{d}{dx}{{\left[ \sec (2x) \right]}^{2}}$

Ahora si derivamos

$\displaystyle \frac{{{d}^{3}}y}{d{{x}^{3}}}=-4\left[ 2{{\left[ \sec (2x) \right]}^{2-1}}\frac{d}{dx}\left[ \sec (2x) \right] \right]$

Esto nos daría:

$\displaystyle \frac{{{d}^{3}}y}{d{{x}^{3}}}=-4\left[ 2\sec (2x)\left[ \sec (2x)tan(2x)\frac{d}{dx}(2x) \right] \right]$

Nuevamente derivando el argumento 2x

$\displaystyle \frac{{{d}^{3}}y}{d{{x}^{3}}}=-4\left( 2\sec (2x)\left[ \sec (2x)tan(2x)2 \right] \right)$

Realizando las multiplicaciones, obtenemos nuestra tercer derivada

Resultado:

$\displaystyle \frac{{{d}^{3}}y}{d{{x}^{3}}}=-16{{\sec }^{2}}(2x)\tan (2x)$

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