Profesor Ligdami: Derivada Implicita

Como dijimos al comienzo, las funciones explícitas son aquellas donde la variable dependiente se encuentra despejada, tal como en los siguientes ejemplos.

$\displaystyle y=3{{x}^{2}}+3x+10$

$\displaystyle y={{x}^{2}}\ln (2x+1)$

$\displaystyle y={{e}^{6x}}arcsen(2x)$

$\displaystyle y=\frac{\cos (2x)}{\sqrt{\tan (3x)}}$

Si por el contrario, tenemos funciones implícitas entonces veremos a la variable dependiente “no despejada”, es decir;

$\displaystyle {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=xy+8$

$\displaystyle \tan (x-4y)=3x+{{y}^{2}}$

$\displaystyle 5{{x}^{2}}+2xy-9x+{{y}^{2}}+22y-4=0$

$\displaystyle y=arcsen\sqrt{{{x}^{4}}-{{y}^{2}}}$

Es muy fácil diferenciar entre las funciones explícitas e implícitas, si nos encontramos a las funciones implícitas de esa manera puede deberse por dos razones.

Porque la variable dependiente sea algebraicamente imposible de despejar, por ejemplo cuando aparece parte del argumento y además está en alguna otra función. Por ejemplo:

$\displaystyle 4y=sen(2x-{{y}^{2}})$

La otra razón es porque el autor así decidió escribirlo, a veces para que el alumno mejore su habilidad de despejar variables.

En la derivación implícita se emplean las mismas fórmulas de derivadas, no cambia en absoluto. Son exactamente las mismas reglas, lo único que debe considerarse es el tratar de considerar a la variable dependiente como si se tratara de una función por aparte, ver la siguiente imagen.

Derivación Implícita

Paso 1: Para comenzar con nuestras derivadas implícitas, se deben derivar ambos miembros de la igualdad.

Paso 2: Se debe despejar a dy/dx

Con estos dos sencillos pasos, tenemos el proceso listo para derivar. Veamos ahora algunos ejemplos.

Derivadas Implícitas Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1. Resuelve la siguiente derivada implícita

$\displaystyle 5x{{y}^{7}}-{{y}^{3}}=9x+4y$

Solución:

Observamos que se trata de una función implícita, siguiendo las reglas debemos derivar ambos miembros de la igualdad, por lo que obtendremos:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( 5x{{y}^{7}}-{{y}^{3}} \right)=\frac{d}{dx}\left( 9x+4y \right)$

Derivando cada término, tenemos.

$\displaystyle \frac{d}{dx}5x{{y}^{7}}-\frac{d}{dx}{{y}^{3}}=\frac{d}{dx}9x+\frac{d}{dx}4y$

Hasta este punto es normal, sin embargo nos encontramos con diferentes casos de derivación, veamos:

Si derivamos ahora, obtendremos lo siguiente. Tener en cuenta que la “uv” es un producto de dos funciones.

$\displaystyle 5x\frac{d}{dx}{{y}^{7}}+{{y}^{7}}\frac{d}{dx}5x-3{{y}^{3-1}}\frac{d}{dx}y=9+4\frac{dy}{dx}$

Derivando, pero teniendo en cuenta que “y” es una función.

$\displaystyle 5x\left[ 7{{y}^{6}}\frac{dy}{dx} \right]+5{{y}^{7}}-3{{y}^{2}}\frac{dy}{dx}=9+4\frac{dy}{dx}$

Multiplicando, obtenemos:

$\displaystyle 35x{{y}^{6}}\frac{dy}{dx}+5{{y}^{7}}-3{{y}^{2}}\frac{dy}{dx}=9+4\frac{dy}{dx}$

Juntamos en el miembro izquierdo a todas las derivadas y del miembro derecho a las que no tengan ninguna derivada.

$\displaystyle 35x{{y}^{6}}\frac{dy}{dx}-3{{y}^{2}}\frac{dy}{dx}-4\frac{dy}{dx}=9-5{{y}^{7}}$

Factorizando dy/dx de lado izquierdo, tenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}(35x{{y}^{6}}-3{{y}^{2}}-4)=9-5{{y}^{7}}$

Ahora, solamente despejamos a dy/dx para obtener nuestro resultado.

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{9-5{{y}^{7}}}{35x{{y}^{6}}-3{{y}^{2}}-4}$

Ejemplo 2. Resuelve la siguiente derivada implícita

$\displaystyle y=x\ln y+sen3x$

Solución:

En ocasiones este tipo de ejemplos puede confundirse, porque la función es implícita, aunque del lado izquierdo aparezca despejada “y”, existe “y” de lado derecho esto hace que sea completamente implícita, ahora derivamos ambos miembros.

$\displaystyle \frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\left( x\ln y \right)+\frac{d}{dx}sen3x$

Observamos que en x lny lo resolveremos como el producto de dos funciones, para que tengamos algo similar a esto.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\left[ x\frac{d}{dx}\ln y+\ln y\frac{d}{dx}x \right]+3\cos 3x$

Derivamos el producto y obtenemos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=x\left[ \frac{\frac{d}{dx}y}{y} \right]+\ln y(1)+3\cos 3x$

De otra forma, esto es:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\left[ \frac{dy}{dx} \right]+\ln y+3\cos 3x$

Escribimos de lado izquierdo los términos que contengan a la derivada:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\left[ \frac{dy}{dx} \right]=\ln y+3\cos 3x$

Factorizando a la derivada

$\displaystyle \frac{dy}{dx}\left( 1-\frac{x}{y} \right)=\ln y+3\cos 3x$

Finalmente despejamos a la derivada, para que nos de el resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\ln y+3\cos 3x}{1-\frac{x}{y}}$

Aplicando un poco de álgebra para expresar bien nuestro cociente y obtener lo que deseamos.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\ln y+3\cos 3x}{1-\frac{x}{y}}=\frac{\ln y+3\cos 3x}{\frac{y-x}{y}}=\frac{y(\ln y+3\cos 3x)}{y-x}$

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y\ln y+3y\cos 3x}{y-x}$

Ejemplo 3. Resuelve la siguiente derivada implícita

$\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9$

Solución:

Nuevamente derivamos ambos miembros, de tal forma que tengamos algo así:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=\frac{d}{dx}9$

Posteriormente, aplicamos:

$\displaystyle \frac{d}{dx}{{x}^{2}}+\frac{d}{dx}{{y}^{2}}=\frac{d}{dx}9$

En el segundo miembro es lógico que nos dará cero, pues la derivada de la constante es cero, y en el primer miembro obtendremos esto:

$\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Como nada más existe una sola derivada dy/dx, la mantenemos en el miembro izquierdo, es decir despejamos:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}$

Simplificando, obtenemos:

Resultado:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

Derivada Implicita

Derivadas Implícitas Ejercicios Resueltos

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