Derivada direccionales

Derivada direccional.

Las derivadas parciales f_x y f_y nos dan la pendiente de las rectas tangentes a las curvas de intersección 

de la superficie z = f (x,y) con planos y = cte. o x = cte. respectivamente.

    Equivalentemente, f_x es la razón de cambio de la función f (x,y) en la dirección del vector unitario

  y f_y es la razón de cambio en la dirección del vector unitario .

    ¿Cómo calcularíamos la razón de cambio de f (x,y) en una dirección arbitraria dada por un vector U?

Gradiente de una función escalar.

    Es conveniente primero definir una función vectorial muy útil, que se llama Gradiente de una función escalar.

 

Sea z = f (x,y)y w = F(x,y,z) .Se dice que los vectores   f = fx  + fy   y F = Fx  + Fy  + Fz    son los gradientes de las funciones respectivas.

  

    Ejemplos :

    1) f(x, y) = x² - 4y²

        f(x, y, z) = x² - 4y²

        f = {2x, -8y, 0}

        f = {4, -32, 0}

        en el punto {2, 4, 0}

    2) f(x, y) = xy² + 3x² - z³

        f(x, y, z) = xy² + 3x² - z³

        f = {6x + y², 2xy, -3z²}

        f = {13, -4, -12}

La derivada direccional.

 

Definición :  La derivada de una función f (x,y) en la direcciónde un vector unitario   U = cos  + sin  se define como  lim (1/h) (f(x + h cos , y + h sen ) - f(x, y))

 

    Ejemplos:

    1)  f(x, y) = 18 - x² - y² ; u = cos  + sen  

  

    f(x, y) = 18 - x² - y² ; u = {, , 0}

    

    

    La derivada direccional es:

 
 

    2)  f(x, y) = 18 - x² - y² ; u = cos  + sen  

 

  

     f(x, y) = 18 - x² - y² ; u = {, , 0}

 
  

    La derivada direccional es:

   Evaluar las derivadas direccionales a partir de la definición sería tedioso e impráctico. El siguiente teorema nos será de gran utilidad.

 

Teorema:  Si z = f (x,y) es una función diferenciable y    U = cos  + sen &thgr;  , entonces  Duf = f  o U  es la derivada direccional de f en la dirección de U.

 

    Ejemplo: f(x, y) = 2x²y³ + 6xy;  U = cos  + sen 

    f = {6y + 4xy³, 6x + 6x²y², 0}

    Derivada direccional

    en la dirección de

    u = {, 0} es

    D_uf = (6x + 6x²y^{2) +} (6y + 4xy³)

   y en el punto {1, 1, 0}

        tiene el valor 6 + 5

Bibliografia