Límite de funciones

Limite de funcion Racional 

Límite de funciones racionales

La expresión general de un límite es la siguiente:

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite.

En el estudio de los límites de funciones racionales, debemos tener cuidado con las indeterminaciones que se nos presenten y tener conocimiento de álgebra, como por ejemplo, la  factorización, potenciación, entre otras. No existe una regla para resolver un límite, sin embargo, lo primero que haremos al enfrentar un problema será evaluarlo, luego buscar la forma de simplificarlo y volverlo a evaluar con el fin de obtener su valor final. Veamos algunos ejercicios:

Ejercicio 1: Calcular el valor del siguiente límite 

Primero lo evaluamos:

Nos encontramos con una indeterminación, para poder solucionar este límite debemos factorizar el numerador de la expresión:

Simplificada la expresión volvemos a evaluar el límite:

Entonces:

Ejercicio 2: Calcular el valor del siguiente límite 

Primero lo evaluamos:

Factorizamos el numerador de la expresión:

Simplificada la expresión volvemos a evaluar el límite:

Entonces:

Ejercicio 3: Calcular el valor del siguiente límite 

Primero lo evaluamos:

Luego factorizamos el numerador de la expresión:

Como hemos simplificado la expresión, evaluamos el límite:

Entonces:

Ejercicio 4: Calcular el valor del siguiente límite 

Primero lo evaluamos:

Restamos el numerador de la expresión:

Dividimos las dos fracciones:

Sacamos factor común 3 del numerador:

Sacamos factor común del signo en el numerador:

Volvemos a evaluar el límite:

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Cálculo de límites de funciones racionales

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

                                         

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.

Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

Si el denominador se anula en x₀, puede ocurrir que el numerador también se anule en x₀, o que el numerador no se anule en x₀.

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x₀) = 0 y P(x₀) = 0, x₀ es raíz 

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x₀ ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.

A.2.2. El límite del numerador no es cero.

Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la 

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

Ejercicio:

Resolución:

Resolución:

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2x² - 6x +12 y

Q(x) = x² + 3x -10.

· Descomposición factorial de P(x):

 

· Descomposición factorial de Q(x):

 

· El límite del cociente P(x)/Q(x) es:

Resolución:

· Se simplifican numerador y denominador:

Resolución:

· Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x₀ = 3.

Resolución:

· Se estudian los límites laterales:

Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.
REGLAS DE FACTORIZACIÓN 

TRABAJO ACOMULATIVO.Trabajo 5 aqui
Bibliografía Limites resueltos Calculadora para calcular limites Calculadora 1Calculadora 2