limite de funciones de varias variables

Vídeo de apoyo

Límite de una función de varias variable

Concepto y definición

Con el concepto de dominio de una función de varias variableshemos sido capaces de respondernos a la pregunta:

¿Qué valor adopta la función f(x,y) cuando (x,y) vale (x₀,y₀)?

El concepto de límite de una función de varias variables en un punto nos dará respuesta a la pregunta:

¿A qué valor se acerca la función f(x,y) cuando (x,y) se acerca al valor (x₀,y₀)?

La notación del cálculo de un límite de una función de varias variables es: .

Para que exista la posibilidad de calcular el límite debemos tener presente varias cosas:

1. El valor (x₀,y₀) no tiene porqué pertenecer al dominio de f(x,y), pero los valores alrededor de él sí. Es decir, los valores de (x,y) mediante los que definimos el acercamiento a (x₀,y₀).
2. A diferencia de las funciones de una variable, f:R→R, donde el acercamiento al punto sólo tenía dos posibilidades (límites laterales por izquierda y derecha), en el caso de funciones de dos variables, f:R²→R, las opciones de acercamiento son infinitas, puesto que en el plano XY donde se define el dominio de estas funciones se pueden definir infinitas trayectorias lineales para desplazar un punto genérico (x,y) al punto del límite (x₀,y₀). Para poder afirmar que el límite de la función existe en (x₀,y₀)los cálculos realizados por las infinitas trayectorias de acercamiento deben existir y ser iguales. Existen trayectorias de acercamiento de interés especial que veremos más adelante:
   1. Acercamiento por los ejes, que llamamos límites parciales o límites iterados.
   2. Acercamiento mediante rectas, o límite por rectas.
   3. Acercamiento por parábolas, o límite por parábolas.
   4. Acercamiento mediante coordenadas polares.
3. El límite de una función en un punto, si existe, es único. A esta proposición se le conoce con el nombre de teorema de existencia y unicidad.

Vídeo de Apoyo 1

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 6: Evaluar el límite de la función  cuando (x,y) tiende (se acerca) a (0,0).

El cálculo propuesto es . En el cálculo de todo límite lo primero es comprobar que la evaluación de la función en el punto se puede calcular, puesto que en ese caso el límite es precisamente ese valor. Efectivamente, en nuestro caso, e⁰=1, con lo que diremos:

Además, si observamos el gráfico de la función .

Gráfica de la función exponencial cuadrática negativa de dos variables

Se aprecia el resultado obtenido. Podemos observar también que ese resultado es el mismo si el acercamiento de (x,y) a (0,0) se realiza por cualquier trayectoria.

En los siguientes artículos veremos cómo tratar el límite de una función de varias variablesestudiando diferentes trayectorias de acercamiento al punto.

Límite de una función

Cálculo de límites

Direccionales

Calculo de Limite por sustitucion

Cálculo de Límite por definición

Regla de l’Hôpital